@[specialize #[]]

def Nat.fold {α : Type u} (f : Nat → α → α) (n : Nat) (init : α) : α

Nat.fold evaluates f on the numbers up to n exclusive, in increasing order:

• Nat.fold f 3 init = init |> f 0 |> f 1 |> f 2

Equations

• Nat.fold f 0 x = x
• Nat.fold f (Nat.succ n) x = f n (Nat.fold f n x)

@[inline]

def Nat.foldTR {α : Type u} (f : Nat → α → α) (n : Nat) (init : α) : α

Tail-recursive version of Nat.fold.

@[specialize #[]]

def Nat.foldTR.loop {α : Type u} (f : Nat → α → α) (n : Nat) : Nat → α → α

Equations

• Nat.foldTR.loop f n 0 x = x
• Nat.foldTR.loop f n (Nat.succ n_1) x = Nat.foldTR.loop f n n_1 (f (n - Nat.succ n_1) x)

@[specialize #[]]

def Nat.foldRev {α : Type u} (f : Nat → α → α) (n : Nat) (init : α) : α

Nat.foldRev evaluates f on the numbers up to n exclusive, in decreasing order:

• Nat.foldRev f 3 init = f 0 <| f 1 <| f 2 <| init

Equations

• Nat.foldRev f 0 x = x
• Nat.foldRev f (Nat.succ n) x = Nat.foldRev f n (f n x)

@[specialize #[]]

def Nat.any (f : Nat → Bool) : Nat → Bool

any f n = true iff there is i in [0, n-1] s.t. f i = true

Equations

• Nat.any f 0 = false
• Nat.any f (Nat.succ n) = (Nat.any f n || f n)

@[inline]

def Nat.anyTR (f : Nat → Bool) (n : Nat) : Bool

Tail-recursive version of Nat.any.

@[specialize #[]]

def Nat.anyTR.loop (f : Nat → Bool) (n : Nat) : Nat → Bool

Equations

• Nat.anyTR.loop f n 0 = false
• Nat.anyTR.loop f n (Nat.succ n_1) = (f (n - Nat.succ n_1) || Nat.anyTR.loop f n n_1)

@[specialize #[]]

def Nat.all (f : Nat → Bool) : Nat → Bool

all f n = true iff every i in [0, n-1] satisfies f i = true

Equations

• Nat.all f 0 = true
• Nat.all f (Nat.succ n) = (Nat.all f n && f n)

@[inline]

def Nat.allTR (f : Nat → Bool) (n : Nat) : Bool

Tail-recursive version of Nat.all.

@[specialize #[]]

def Nat.allTR.loop (f : Nat → Bool) (n : Nat) : Nat → Bool

Equations

• Nat.allTR.loop f n 0 = true
• Nat.allTR.loop f n (Nat.succ n_1) = (f (n - Nat.succ n_1) && Nat.allTR.loop f n n_1)

@[specialize #[]]

def Nat.repeat {α : Type u} (f : α → α) (n : Nat) (a : α) : α

Nat.repeat f n a is f^(n) a; that is, it iterates f n times on a.

• Nat.repeat f 3 a = f <| f <| f <| a

Equations

• Nat.repeat f 0 x = x
• Nat.repeat f (Nat.succ n) x = f (Nat.repeat f n x)

@[inline]

def Nat.repeatTR {α : Type u} (f : α → α) (n : Nat) (a : α) : α

Tail-recursive version of Nat.repeat.

@[specialize #[]]

def Nat.repeatTR.loop {α : Type u} (f : α → α) : Nat → α → α

Equations

• Nat.repeatTR.loop f 0 x = x
• Nat.repeatTR.loop f (Nat.succ n) x = Nat.repeatTR.loop f n (f x)

def Nat.blt (a : Nat) (b : Nat) : Bool

Boolean less-than of natural numbers.

Helper "packing" theorems

@[simp]

theorem Nat.zero_eq : Nat.zero = 0

@[simp]

theorem Nat.add_eq {x : Nat} {y : Nat} : Nat.add x y = x + y

@[simp]

theorem Nat.mul_eq {x : Nat} {y : Nat} : Nat.mul x y = x * y

@[simp]

theorem Nat.sub_eq {x : Nat} {y : Nat} : Nat.sub x y = x - y

@[simp]

theorem Nat.lt_eq {x : Nat} {y : Nat} : Nat.lt x y = (x < y)

@[simp]

theorem Nat.le_eq {x : Nat} {y : Nat} : Nat.le x y = (x ≤ y)

Helper Bool relation theorems

@[simp]

theorem Nat.beq_refl (a : Nat) : Nat.beq a a = true

@[simp]

theorem Nat.beq_eq {x : Nat} {y : Nat} : (Nat.beq x y = true) = (x = y)

@[simp]

theorem Nat.ble_eq {x : Nat} {y : Nat} : (Nat.ble x y = true) = (x ≤ y)

@[simp]

theorem Nat.blt_eq {x : Nat} {y : Nat} : (Nat.blt x y = true) = (x < y)

instance Nat.instLawfulBEqNatInstBEqNat : LawfulBEq Nat

@[simp]

theorem Nat.beq_eq_true_eq (a : Nat) (b : Nat) : ((a == b) = true) = (a = b)

@[simp]

theorem Nat.not_beq_eq_true_eq (a : Nat) (b : Nat) : ((!a == b) = true) = ¬a = b

Nat.add theorems

@[simp]

theorem Nat.zero_add (n : Nat) : 0 + n = n

theorem Nat.succ_add (n : Nat) (m : Nat) : Nat.succ n + m = Nat.succ (n + m)

theorem Nat.add_succ (n : Nat) (m : Nat) : n + Nat.succ m = Nat.succ (n + m)

theorem Nat.add_one (n : Nat) : n + 1 = Nat.succ n

theorem Nat.succ_eq_add_one (n : Nat) : Nat.succ n = n + 1

theorem Nat.add_comm (n : Nat) (m : Nat) : n + m = m + n

theorem Nat.add_assoc (n : Nat) (m : Nat) (k : Nat) : n + m + k = n + (m + k)

theorem Nat.add_left_comm (n : Nat) (m : Nat) (k : Nat) : n + (m + k) = m + (n + k)

theorem Nat.add_right_comm (n : Nat) (m : Nat) (k : Nat) : n + m + k = n + k + m

theorem Nat.add_left_cancel {n : Nat} {m : Nat} {k : Nat} : n + m = n + k → m = k

theorem Nat.add_right_cancel {n : Nat} {m : Nat} {k : Nat} (h : n + m = k + m) : n = k

Nat.mul theorems

@[simp]

theorem Nat.mul_zero (n : Nat) : n * 0 = 0

theorem Nat.mul_succ (n : Nat) (m : Nat) : n * Nat.succ m = n * m + n

@[simp]

theorem Nat.zero_mul (n : Nat) : 0 * n = 0

theorem Nat.succ_mul (n : Nat) (m : Nat) : Nat.succ n * m = n * m + m

theorem Nat.mul_comm (n : Nat) (m : Nat) : n * m = m * n

@[simp]

theorem Nat.mul_one (n : Nat) : n * 1 = n

@[simp]

theorem Nat.one_mul (n : Nat) : 1 * n = n

theorem Nat.left_distrib (n : Nat) (m : Nat) (k : Nat) : n * (m + k) = n * m + n * k

theorem Nat.right_distrib (n : Nat) (m : Nat) (k : Nat) : (n + m) * k = n * k + m * k

theorem Nat.mul_add (n : Nat) (m : Nat) (k : Nat) : n * (m + k) = n * m + n * k

theorem Nat.add_mul (n : Nat) (m : Nat) (k : Nat) : (n + m) * k = n * k + m * k

theorem Nat.mul_assoc (n : Nat) (m : Nat) (k : Nat) : n * m * k = n * (m * k)

theorem Nat.mul_left_comm (n : Nat) (m : Nat) (k : Nat) : n * (m * k) = m * (n * k)

Inequalities

theorem Nat.succ_lt_succ {n : Nat} {m : Nat} : n < m → Nat.succ n < Nat.succ m

theorem Nat.lt_succ_of_le {n : Nat} {m : Nat} : n ≤ m → n < Nat.succ m

@[simp]

theorem Nat.sub_zero (n : Nat) : n - 0 = n

theorem Nat.succ_sub_succ_eq_sub (n : Nat) (m : Nat) : Nat.succ n - Nat.succ m = n - m

theorem Nat.pred_le (n : Nat) : Nat.pred n ≤ n

theorem Nat.pred_lt {n : Nat} : n ≠ 0 → Nat.pred n < n

theorem Nat.sub_le (n : Nat) (m : Nat) : n - m ≤ n

theorem Nat.sub_lt {n : Nat} {m : Nat} : 0 < n → 0 < m → n - m < n

theorem Nat.sub_succ (n : Nat) (m : Nat) : n - Nat.succ m = Nat.pred (n - m)

theorem Nat.succ_sub_succ (n : Nat) (m : Nat) : Nat.succ n - Nat.succ m = n - m

@[simp]

theorem Nat.sub_self (n : Nat) : n - n = 0

theorem Nat.sub_add_eq (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) : a - (b + c) = a - b - c

theorem Nat.lt_of_lt_of_le {n : Nat} {m : Nat} {k : Nat} : n < m → m ≤ k → n < k

theorem Nat.lt_of_lt_of_eq {n : Nat} {m : Nat} {k : Nat} : n < m → m = k → n < k

instance Nat.instTransNatLtInstLTNat : Trans (fun x x_1 => x < x_1) (fun x x_1 => x < x_1) fun x x_1 => x < x_1

instance Nat.instTransNatLeInstLENat : Trans (fun x x_1 => x ≤ x_1) (fun x x_1 => x ≤ x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

instance Nat.instTransNatLtInstLTNatLeInstLENat : Trans (fun x x_1 => x < x_1) (fun x x_1 => x ≤ x_1) fun x x_1 => x < x_1

instance Nat.instTransNatLeInstLENatLtInstLTNat : Trans (fun x x_1 => x ≤ x_1) (fun x x_1 => x < x_1) fun x x_1 => x < x_1

theorem Nat.le_of_eq {n : Nat} {m : Nat} (p : n = m) : n ≤ m

theorem Nat.le_of_succ_le {n : Nat} {m : Nat} (h : Nat.succ n ≤ m) : n ≤ m

theorem Nat.le_of_lt {n : Nat} {m : Nat} (h : n < m) : n ≤ m

theorem Nat.lt.step {n : Nat} {m : Nat} : n < m → n < Nat.succ m

theorem Nat.eq_zero_or_pos (n : Nat) : n = 0 ∨ n > 0

theorem Nat.lt.base (n : Nat) : n < Nat.succ n

theorem Nat.lt_succ_self (n : Nat) : n < Nat.succ n

theorem Nat.le_total (m : Nat) (n : Nat) : m ≤ n ∨ n ≤ m

theorem Nat.eq_zero_of_le_zero {n : Nat} (h : n ≤ 0) : n = 0

theorem Nat.lt_of_succ_lt {n : Nat} {m : Nat} : Nat.succ n < m → n < m

theorem Nat.lt_of_succ_lt_succ {n : Nat} {m : Nat} : Nat.succ n < Nat.succ m → n < m

theorem Nat.lt_of_succ_le {n : Nat} {m : Nat} (h : Nat.succ n ≤ m) : n < m

theorem Nat.succ_le_of_lt {n : Nat} {m : Nat} (h : n < m) : Nat.succ n ≤ m

theorem Nat.zero_lt_of_lt {a : Nat} {b : Nat} : a < b → 0 < b

theorem Nat.zero_lt_of_ne_zero {a : Nat} (h : a ≠ 0) : 0 < a

theorem Nat.ne_of_lt {a : Nat} {b : Nat} (h : a < b) : a ≠ b

theorem Nat.le_or_eq_of_le_succ {m : Nat} {n : Nat} (h : m ≤ Nat.succ n) : m ≤ n ∨ m = Nat.succ n

theorem Nat.le_add_right (n : Nat) (k : Nat) : n ≤ n + k

theorem Nat.le_add_left (n : Nat) (m : Nat) : n ≤ m + n

theorem Nat.le.dest {n : Nat} {m : Nat} : n ≤ m → ∃ k, n + k = m

theorem Nat.le.intro {n : Nat} {m : Nat} {k : Nat} (h : n + k = m) : n ≤ m

theorem Nat.not_le_of_gt {n : Nat} {m : Nat} (h : n > m) : ¬n ≤ m

theorem Nat.gt_of_not_le {n : Nat} {m : Nat} (h : ¬n ≤ m) : n > m

theorem Nat.ge_of_not_lt {n : Nat} {m : Nat} (h : ¬n < m) : n ≥ m

instance Nat.instAntisymmNatLeInstLENat : Antisymm fun x x_1 => x ≤ x_1

instance Nat.instAntisymmNatNotLtInstLTNat : Antisymm fun x x_1 => ¬x < x_1

theorem Nat.add_le_add_left {n : Nat} {m : Nat} (h : n ≤ m) (k : Nat) : k + n ≤ k + m

theorem Nat.add_le_add_right {n : Nat} {m : Nat} (h : n ≤ m) (k : Nat) : n + k ≤ m + k

theorem Nat.add_lt_add_left {n : Nat} {m : Nat} (h : n < m) (k : Nat) : k + n < k + m

theorem Nat.add_lt_add_right {n : Nat} {m : Nat} (h : n < m) (k : Nat) : n + k < m + k

theorem Nat.zero_lt_one : 0 < 1

theorem Nat.add_le_add {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} {d : Nat} (h₁ : a ≤ b) (h₂ : c ≤ d) : a + c ≤ b + d

theorem Nat.add_lt_add {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} {d : Nat} (h₁ : a < b) (h₂ : c < d) : a + c < b + d

theorem Nat.le_of_add_le_add_left {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} (h : a + b ≤ a + c) : b ≤ c

theorem Nat.le_of_add_le_add_right {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} : a + b ≤ c + b → a ≤ c

Basic theorems for comparing numerals

theorem Nat.ctor_eq_zero : Nat.zero = 0

theorem Nat.one_ne_zero : 1 ≠ 0

theorem Nat.zero_ne_one : 0 ≠ 1

theorem Nat.succ_ne_zero (n : Nat) : Nat.succ n ≠ 0

mul + order

theorem Nat.mul_le_mul_left {n : Nat} {m : Nat} (k : Nat) (h : n ≤ m) : k * n ≤ k * m

theorem Nat.mul_le_mul_right {n : Nat} {m : Nat} (k : Nat) (h : n ≤ m) : n * k ≤ m * k

theorem Nat.mul_le_mul {n₁ : Nat} {m₁ : Nat} {n₂ : Nat} {m₂ : Nat} (h₁ : n₁ ≤ n₂) (h₂ : m₁ ≤ m₂) : n₁ * m₁ ≤ n₂ * m₂

theorem Nat.mul_lt_mul_of_pos_left {n : Nat} {m : Nat} {k : Nat} (h : n < m) (hk : k > 0) : k * n < k * m

theorem Nat.mul_lt_mul_of_pos_right {n : Nat} {m : Nat} {k : Nat} (h : n < m) (hk : k > 0) : n * k < m * k

theorem Nat.mul_pos {n : Nat} {m : Nat} (ha : n > 0) (hb : m > 0) : n * m > 0

theorem Nat.le_of_mul_le_mul_left {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} (h : c * a ≤ c * b) (hc : 0 < c) : a ≤ b

theorem Nat.eq_of_mul_eq_mul_left {m : Nat} {k : Nat} {n : Nat} (hn : 0 < n) (h : n * m = n * k) : m = k

theorem Nat.eq_of_mul_eq_mul_right {n : Nat} {m : Nat} {k : Nat} (hm : 0 < m) (h : n * m = k * m) : n = k

power

theorem Nat.pow_succ (n : Nat) (m : Nat) : n ^ Nat.succ m = n ^ m * n

theorem Nat.pow_zero (n : Nat) : n ^ 0 = 1

theorem Nat.pow_le_pow_of_le_left {n : Nat} {m : Nat} (h : n ≤ m) (i : Nat) : n ^ i ≤ m ^ i

theorem Nat.pow_le_pow_of_le_right {n : Nat} (hx : n > 0) {i : Nat} {j : Nat} : i ≤ j → n ^ i ≤ n ^ j

theorem Nat.pos_pow_of_pos {n : Nat} (m : Nat) (h : 0 < n) : 0 < n ^ m

min/max

@[inline, reducible]

abbrev Nat.min (n : Nat) (m : Nat) : Nat

Nat.min a b is the minimum of a and b:

• if a ≤ b then Nat.min a b = a
• if b ≤ a then Nat.min a b = b

theorem Nat.min_def {n : Nat} {m : Nat} : min n m = if n ≤ m then n else m

instance Nat.instMaxNat : Max Nat

@[inline, reducible]

abbrev Nat.max (n : Nat) (m : Nat) : Nat

Nat.max a b is the maximum of a and b:

• if a ≤ b then Nat.max a b = b
• if b ≤ a then Nat.max a b = a

theorem Nat.max_def {n : Nat} {m : Nat} : max n m = if n ≤ m then m else n

Auxiliary theorems for well-founded recursion

theorem Nat.not_eq_zero_of_lt {b : Nat} {a : Nat} (h : b < a) : a ≠ 0

theorem Nat.pred_lt' {n : Nat} {m : Nat} (h : m < n) : Nat.pred n < n

sub/pred theorems

theorem Nat.add_sub_self_left (a : Nat) (b : Nat) : a + b - a = b

theorem Nat.add_sub_self_right (a : Nat) (b : Nat) : a + b - b = a

theorem Nat.sub_le_succ_sub (a : Nat) (i : Nat) : a - i ≤ Nat.succ a - i

theorem Nat.zero_lt_sub_of_lt {i : Nat} {a : Nat} (h : i < a) : 0 < a - i

theorem Nat.sub_succ_lt_self (a : Nat) (i : Nat) (h : i < a) : a - (i + 1) < a - i

theorem Nat.succ_pred {a : Nat} (h : a ≠ 0) : Nat.succ (Nat.pred a) = a

theorem Nat.sub_ne_zero_of_lt {a : Nat} {b : Nat} : a < b → b - a ≠ 0

theorem Nat.add_sub_of_le {a : Nat} {b : Nat} (h : a ≤ b) : a + (b - a) = b

theorem Nat.sub_add_cancel {n : Nat} {m : Nat} (h : m ≤ n) : n - m + m = n

theorem Nat.add_sub_add_right (n : Nat) (k : Nat) (m : Nat) : n + k - (m + k) = n - m

theorem Nat.add_sub_add_left (k : Nat) (n : Nat) (m : Nat) : k + n - (k + m) = n - m

theorem Nat.add_sub_cancel (n : Nat) (m : Nat) : n + m - m = n

theorem Nat.add_sub_cancel_left (n : Nat) (m : Nat) : n + m - n = m

theorem Nat.add_sub_assoc {m : Nat} {k : Nat} (h : k ≤ m) (n : Nat) : n + m - k = n + (m - k)

theorem Nat.eq_add_of_sub_eq {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} (hle : b ≤ a) (h : a - b = c) : a = c + b

theorem Nat.sub_eq_of_eq_add {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} (h : a = c + b) : a - b = c

theorem Nat.le_add_of_sub_le {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} (h : a - b ≤ c) : a ≤ c + b

theorem Nat.sub_lt_sub_left {k : Nat} {m : Nat} {n : Nat} : k < m → k < n → m - n < m - k

@[simp]

theorem Nat.zero_sub (n : Nat) : 0 - n = 0

theorem Nat.sub_self_add (n : Nat) (m : Nat) : n - (n + m) = 0

theorem Nat.sub_eq_zero_of_le {n : Nat} {m : Nat} (h : n ≤ m) : n - m = 0

theorem Nat.sub_le_of_le_add {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} (h : a ≤ c + b) : a - b ≤ c

theorem Nat.add_le_of_le_sub {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} (hle : b ≤ c) (h : a ≤ c - b) : a + b ≤ c

theorem Nat.le_sub_of_add_le {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} (h : a + b ≤ c) : a ≤ c - b

theorem Nat.add_lt_of_lt_sub {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} (h : a < c - b) : a + b < c

theorem Nat.lt_sub_of_add_lt {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} (h : a + b < c) : a < c - b

@[simp]

theorem Nat.pred_zero : Nat.pred 0 = 0

@[simp]

theorem Nat.pred_succ (n : Nat) : Nat.pred (Nat.succ n) = n

theorem Nat.sub.elim {motive : Nat → Prop} (x : Nat) (y : Nat) (h₁ : y ≤ x → (k : Nat) → x = y + k → motive k) (h₂ : x < y → motive 0) : motive (x - y)

theorem Nat.mul_pred_left (n : Nat) (m : Nat) : Nat.pred n * m = n * m - m

theorem Nat.mul_pred_right (n : Nat) (m : Nat) : n * Nat.pred m = n * m - n

theorem Nat.sub_sub (n : Nat) (m : Nat) (k : Nat) : n - m - k = n - (m + k)

theorem Nat.mul_sub_right_distrib (n : Nat) (m : Nat) (k : Nat) : (n - m) * k = n * k - m * k

theorem Nat.mul_sub_left_distrib (n : Nat) (m : Nat) (k : Nat) : n * (m - k) = n * m - n * k

Helper normalization theorems

theorem Nat.not_le_eq (a : Nat) (b : Nat) : (¬a ≤ b) = (b + 1 ≤ a)

theorem Nat.not_ge_eq (a : Nat) (b : Nat) : (¬a ≥ b) = (a + 1 ≤ b)

theorem Nat.not_lt_eq (a : Nat) (b : Nat) : (¬a < b) = (b ≤ a)

theorem Nat.not_gt_eq (a : Nat) (b : Nat) : (¬a > b) = (a ≤ b)

csimp theorems

@[csimp]

theorem Nat.fold_eq_foldTR : @Nat.fold = @Nat.foldTR

theorem Nat.fold_eq_foldTR.go (α : Type u_1) (f : Nat → α → α) (init : α) (m : Nat) (n : Nat) : Nat.foldTR.loop f (m + n) m (Nat.fold f n init) = Nat.fold f (m + n) init

@[csimp]

theorem Nat.any_eq_anyTR : Nat.any = Nat.anyTR

theorem Nat.any_eq_anyTR.go (f : Nat → Bool) (m : Nat) (n : Nat) : (Nat.any f n || Nat.anyTR.loop f (m + n) m) = Nat.any f (m + n)

@[csimp]

theorem Nat.all_eq_allTR : Nat.all = Nat.allTR

theorem Nat.all_eq_allTR.go (f : Nat → Bool) (m : Nat) (n : Nat) : (Nat.all f n && Nat.allTR.loop f (m + n) m) = Nat.all f (m + n)

@[csimp]

theorem Nat.repeat_eq_repeatTR : @Nat.repeat = @Nat.repeatTR

theorem Nat.repeat_eq_repeatTR.go (α : Type u_1) (f : α → α) (init : α) (m : Nat) (n : Nat) : Nat.repeatTR.loop f m (Nat.repeat f n init) = Nat.repeat f (m + n) init

@[inline]

def Prod.foldI {α : Type u} (f : Nat → α → α) (i : Nat × Nat) (a : α) : α

(start, stop).foldI f a evaluates f on all the numbers from start (inclusive) to stop (exclusive) in increasing order:

• (5, 8).foldI f init = init |> f 5 |> f 6 |> f 7

@[inline]

def Prod.anyI (f : Nat → Bool) (i : Nat × Nat) : Bool

(start, stop).anyI f a returns true if f is true for some natural number from start (inclusive) to stop (exclusive):

• (5, 8).anyI f = f 5 || f 6 || f 7

@[inline]

def Prod.allI (f : Nat → Bool) (i : Nat × Nat) : Bool

(start, stop).allI f a returns true if f is true for all natural numbers from start (inclusive) to stop (exclusive):

• (5, 8).anyI f = f 5 && f 6 && f 7